2024-1 MATH551 수치해석학

과목 정보

• MATH551 / 타전공 / 3-1-3
• 정재훈 교수님
• 수리과학관 104호

학습 노트

• Week 1-1
• Week 1-2
• Week 2-1
• Week 2-2
• Week 3-1
• Week 3-2
• Week 4-1
• Week 4-2
• Assignment 1
• Week 5-1
• Week 5-2
• Week 6-1
• Week 6-2
• Week 7-1
• Week 7-2
• Week 9-1
• Week 9-2
• Week 10-1
• Week 10-2
• Week 11-1
• Week 11-2
• Week 12-2
• Week 13-1
• Week 14-1
• Week 14-2
• tba

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개요

수치해석학이란

  수학적 방법을 사용하여 부분 미분 방정식(PDE, Partial Differential Equations), 일반 미분 방정식(ODE, Ordinary Differential Equations) 및 기타 수학적 문제의 근사해(Approximation)를 찾는 데 중점을 두는 학문이다.

  부분 미분 방정식(PDE)과 일반 미분 방정식(ODE) 같은 여러 종류의 방정식들이 실제 세계의 많은 현상을 모델링하는 데 사용된다. 하지만 대부분의 PDE와 ODE는 해석적으로 — 즉, 정확한 수학적 공식으로 — 풀기 어렵다. 이런 경우, 수치해석 방법을 사용하여 이러한 방정식의 근사적인 해를 구할 수 있다. 내가 개인적으로 관심이 있는 오디오 분야와 인공지능 분야를 예시로 들자면, 오디오 신호 처리에 필수적인 알고리즘 중 하나인 푸리에 변환(시간 도메인에서의 신호를 주파수 도메인으로 변환) 또한 수치해석에서 사용되는 방법 중 하나며, 기계 학습에서의 특징 추출 및 최적화 알고리즘에 수치해석이 핵심 구성 요소라고도 볼 수 있다.

강의 범위

  고차 수치해석 방법을 사용하여 부분 미분 방정식(PDE)을 해결하는 방법을 다룬다. 기본적인 개념과 방법론에 대한 리뷰로 시작하여 점차 고차 수치해석 방법론으로 나아가는 흐름으로 강의가 진행될 계획이다. 강의 후반부에는 부분 미분 방정식(PDE)을 해결하는 현대적인 방법인 ① ENO (Essentially Non-Oscillatory), ② WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory), ③ PINN (Physics-Informed Neural Networks)까지 설명한다. 이 방법들을 이용하여 현실 세계의 복잡하고 미묘한 물리적 현상을 모델링하고 시뮬레이션할 수 있으며, 공학, 물리학, 기상학 등 다양한 분야의 연구에 적용할 수 있다.

수업 안내 사항

• 교재
  • "Spectral Methods for Time-Dependent Problems"
  • "Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations"
  • "DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations"
  • "Can Physics-Informed Neural Networks beat the Finite Element Method?"

• 중간고사 30% / 과제 30% / 기말 프로젝트 (자유주제 연구) 30% / 출석 10%