2024-2 AIGS501 변환론

과목 정보

• AIGS501(CSDE501) / 전공선택 / 3-0-3
• 송황준 교수님
• 제2공학관 107호

학습 노트

• Week 1-1
• Week 1-2
• Week 2-1
• Week 2-2
• Week 4-1
• Week 4-2
• Week 5-1
• Week 5-2
• tba

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개요

변환론이란

  Transformation Theory(변환론)은 데이터, 신호, 함수 등의 표현 방식을 효율적으로 변환하는 방법을 다루는 학문이다. 변환론은 벡터 및 함수 공간에서 주로 사용되며, 변환론을 통해 동일한 시스템이나 알고리즘을 다른 관점에서 효율적으로 이해하고, 처리하고, 구현할 수 있다.

 

  변환론은 현대 과학과 공학에서 필수적인 도구로 자리 잡고 있으며, 다음과 같은 다양한 실용적인 과제에 활용될 수 있다:

1. Image and Video Processing (이미지 및 영상 처리): 변환론은 이미지의 공간적 및 시간적 중복성을 줄여 Video Compression(비디오 압축)에 사용될 수 있다. 예를 들어, DCT(이산 코사인 변환)는 JPEG 및 비디오 압축 표준에서 중요한 역할을 하며, 공간적 변환을 통해 데이터의 중복성을 줄일 수 있다.
2. Communication System (통신 시스템): 변환론은 OFDM(Orthogonal Frequency-Division Multiplexing, 직교 주파수 분할 다중화) 및 AM(Amplitude Modulation, 진폭 변조)과 같은 통신 시스템에서 bandwidth efficiency(대역폭 효율성) 및 신호 전송에 사용된다. 이를 통해 데이터 전송의 효율을 극대화하고 잡음을 제거하거나 신호의 특정 주파수 대역을 강조하는 등 신호 향상 및 분석에 사용될 수 있다.
3. Interpolation(보간) 및 Filtering(필터링): Sinc 함수 보간법을 통해 신호를 재구성하고, 필터 설계에 적용할 수 있다. 샘플링 이론을 바탕으로 이상적인 저역 통과 필터를 적용하여 신호 복원이 가능하다.
4. Cyber-Physical Systems (사이버-물리 시스템): 변환론은 IoT, 자동차, 항공우주 등 물리 시스템을 제어하는 사이버-물리 시스템에서 활용된다. 데이터의 효율적인 처리가 중요한 이러한 시스템에서 변환론은 물리적 데이터를 효율적으로 분석하고 처리하는 데 필수적인 도구다.
5. Wavelet-based Data Processing (웨이블릿 기반 데이터 처리): 웨이블릿 변환은 Data Compression (데이터 압축), Image Coding (이미지 코딩), Network Congestion Detection (네트워크 혼잡 탐지)와 같은 다양한 응용 분야에서 사용된다. 웨이블릿 기반 알고리즘은 고차원의 데이터를 더 작은 단위로 분해하여 효율적으로 처리할 수 있다.

강의 범위

  본 과목은 변환론의 기초 개념을 소개하는 것으로 시작하여, 시간 도메인과 주파수 도메인에서의 다양한 변환 기법을 다룬다. 변환론의 기본 개념을 먼저 다루고, 이를 통해 신호나 시스템을 어떻게 다른 형태로 변환하여 분석할 수 있는지를 설명한다. 본 과목에서 주로 다룰 linear orthogonal transformation(선형 직교 변환)은 Fourier Transform(푸리에 변환), Laplace Transform(라플라스 변환), Z Transform(Z 변환)과 같은 여러 방법으로 시간 및 주파수 영역에서 데이터를 분석하는 데 유용하다.

  먼저, 연속 시간 도메인에서의 변환을 다룬다. 이 과정에서는 Generalized Fourier Series(일반화된 푸리에 급수)를 통해 연속 신호를 표현하는 방법을 배우며, Differential Equation(미분 방정식)을 이용해 선형 시스템의 동작을 설명하고 해석하는 방법을 학습한다. 또한, Laplace Transform(라플라스 변환)은 연속 시간 시스템을 주파수 영역에서 분석하는 데 중요한 도구로, 이를 통해 시스템의 안정성과 특성을 분석하는 방법을 다룬다. 이어서 Fourier Series(푸리에 급수)와 Fourier Transform(푸리에 변환)을 통해 주기 신호와 비주기 신호를 주파수 영역에서 변환하여 분석하는 방법을 공부한다.

  다음으로, 이산 시간 도메인에서는 Sampling Theorem(샘플링 이론)을 통해 연속 신호를 이산 신호로 변환하는 과정과 그 이론적 배경을 다룬다. Difference Equation(차분 방정식)을 이용하여 이산 시스템의 동작을 설명하며, Z Transform(Z 변환)은 이산 시간 신호를 주파수 영역에서 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 또한, Discrete Time Fourier Transform(이산 시간 푸리에 변환)과 Discrete Fourier Transform(이산 푸리에 변환)을 통해 이산 시간 신호를 주파수 영역에서 분석하고 처리하는 방법을 학습한다.

  마지막으로, 이러한 변환들 간의 상호 관계를 이해하는 것이 중요한데, Fourier Transform(푸리에 변환)과 Laplace Transform(라플라스 변환), Z Transform(Z 변환)과 이산 푸리에 변환 등의 변환들은 각각 다른 도메인에서 사용되지만, 상호 연관성을 통해 더 깊은 신호 분석이 가능하다. 이외에도 Bi-orthogonal Transform(이중 직교 변환)과 Wavelet Transform(웨이블릿 변환)은 더욱 복잡한 데이터 처리 문제에서 효율적인 해결책을 제시한다. 이를 통해 연속 시간 및 이산 시간 시스템에서의 변환론의 응용을 깊이 이해할 수 있게 된다.

수업 안내 사항

• 교재
  • 연속 시간 도메인
    • "Signals and Systems" by Poularikas and Seely, Thomson Information
    • "Signals, Systems, and Transforms" by C. L. Phillips and J. M. Parr, Prentice Hall
      
      
  • 이산 시간 도메인
    • "Discrete Time Signal Processing" by A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Prentice Hall
    • "Digital Signal Processing" by J. G. Proakis and D. G. Manolakis, Prentice Hall
      
      
  • 이중 직교 변환
    • "Wavelets and Filter Banks" by G. Strang and T. Nguyen, Wellesley Cambridge (★)
      
      
• 중간고사 30% / 기말고사 40% / 팝퀴즈 & 과제 30%
• 본인 연구에서 왜 변환론이 필요한지에 대해 발표하면 가산점.